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Literatur
Unsere Beweismethode läßt sich ohne Schwierigkeit so erweitern, daß sie bei beliebigen linearen elliptischen Differentialgleichungen das Rand- und Eigenwertproblem und bei beliebigen linearen hyperbolischen Differentialgleichungen das Anfangswertproblem zu lösen gestattet.
J. le Roux, Sur le problème de Dirichlet, Journ. de mathém. pur. et appl. (6)10 (1914), p. 189. R. G. D. Richardson, A new method in boundary problems for differential equations, Transactions of the Americ. Mathem. Soc.18 (1917), p. 489 ff. H. B. Philips and N. Wiener, Nets and the Dirichlet Problem, Publ. of the Mass. Institute of Technology (1925).
Leider waren diese Abhandlungen dem ersten der drei Verfasser bei der Abfassung seiner Note „Zur Theorie der partiellen Differenzengleichungen”, Gött. Nachr. 23. X. 1925, an welche die vorliegende ARbeit anschließt, entgangen.
Vgl. ferner: L. Lusternik, Über einige Anwendungen der direkten Methoden in der Variationsrechnung, Recueil de la Société Mathém. de Moscou, 1926. G. Bouligand, Sur le problème de Dirichlet, Ann. de la soc. polon. de mathém.4, Krakau 1926.
Über die Bedeutung des Differenzenansatzes und über weitere sie verwendende Arbeiten vgl. R. Courant, Über direkte Methoden in der Variationsrechnung, Math. Annalen97, S. 711 und die dort angegebene Literatur.
Bildet man zu einer beliebigen Differenzengleichung zweiter OrdnungL(u)=0, indem man sie als ein lineares Gleichungssystem auffaßt, das transponierte Gleichungs-system, so wird dieses durch die adjungierte DifferenzengleichungM(v)=0 dargestellt. Die oben betrachtete selbstadjungierte Differenzengleichung stellt also ein lineares Gleichungssystem mit symmetrischem Koeffizientenschema dar.
Vergleiche für die wirkliche Durchführung der Lösung unserer Randwertprobleme durch iterierende Verfahren u. a. die Abhandlung: Über Randwertaufgaben bei partiellen Differenzengleichungen von R. Courant, Zeitschr. f. angew. Mathematik u. Mechanik6 (1925), S. 322–325. Im übrigen sei verwiesen auf den Bericht von H. Henky, Zeitschr. f. angew. Math. u. Mech.2 (1922), S. 58 ff.
Daß die Voraussetzungen für die Anwendungen dieses Satzes gegeben sind, ist sehr leicht einzusehen.
Für die Durchführung des Grenzüberganges in § 4 ist § 3 entbehrlich.
Gerade in der Art wie hier die Grenzen des Gebietes hineinspielen, liegt ein wesentlicher Unterschied der folgenden Betrachtung gegenüber bekannten Überlegungen, die z. B. im Zusammenhange mit der Brownschen Molekularbewegung durchgeführt worden sind.
Ihre Konvergenz werden wir sogleich beweisen.
Dabei ist dem Erreichen eines Flächenstücks als Erwartungswert sein Flächeninhalt zugeschrieben.
Es sei jedoch bemerkt, daß die Ausdehnung unserer Methoden auf allgemeinere-Ränder und Randwerte keinerlei prinzipielle Schwierigkeiten bereitet.
Hier und gelegentlich im folgenden lassen wir bei Gitterfunktionen den Indexh fort.
Ausdrücklich bemerken wir im Hinblick auf die Übertragung der Methode auf andere Differentialgleichungen, daß wir uns von dieser Eigenschaft unabhängig machen können. Dazu brauchen wir nur die Ungleichung (15) heranzuziehen oder die Schlußweise der Alternative anzuwenden (vgl. S. 55).
Hinsichtlich der Anwendung entsprechender Integralungleichungen vgl. K. Friedrichs, Die Rand.- und Eigenwertprobleme aus der Theorie der elastischen Platten, Math. Annalen98, S. 222.
Es ist dann zugleich bewiesen, daß jede Lösung eines solchen Differentialgleichungsproblems Ableitungen jeder Ordnung besitzt.
Vgl. Courant-Hilbert, Methoden der mathematischen Physik,1, Kap. III, § 3, wo mit Hilfe einer entsprechenden Alternative die Theorie der Integralgleichungen behandelt wird. Vgl. auch die demnächst erscheinende Göttinger Dissertation von W. v. Koppenfels.
Daß die Randwerte für Funktion und Ableitungen tatsächlich angenommen werden, läßt sich unschwer zeigen. Vgl. die entsprechenden Betrachtungen bei K. Friedrichs loc. cit. Die Rand.- und Eigenwertprobleme aus der Theorie der elastischen Platten, Math. Annalen98, S. 222.
Zum folgenden vgl. K. Friedrichs und H. Lewy, Über die Eindeutigkeit usw., Math. Annalen (98 1928), S. 192 ff., wo analoge Umformungen für Integrale benutzt werden.
Es ist das Gitter gerade so gewählt, daß die Differenzen vonu zwischen den beiden FlächenF nicht mehr auftreten.
Vgl. zum Beweise die verwandte Ungleichung S. 64 unten.
Diese Voraussetzung und die über die Differenzierbarkeit der Koeffizienten der Differentialgleichung und ferner die Beschränkung auf eine genügend kleine Umgebung der Anfangsgeraden lassen sich in Sonderfällen mildern.
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Courant, R., Friedrichs, K. & Lewy, H. Über die partiellen Differenzengleichungen der mathematischen Physik. Math. Ann. 100, 32–74 (1928). https://doi.org/10.1007/BF01448839
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